Question

20．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；
（2）若关于x的方程|f（x）-m|=1有四个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）比较f（1）与f（-1）的大小．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论x的范围，从而得到函数的单调性；
（2）问题转化为函数g（x）=a^x+x²-xlna-（t±1）的最小值要小于0，求出函数的单调区间，得到故x=0时，g（x）取到最小值，从而求出m的范围；
（3）先作差，问题转化为求函数g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，（a＞1）的单调性，得到g（a）＞0，从而求出f（1），f（-1）的大小．

解答 解：（1）f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
x∈（-∞，0）时，2x＜0，lna＞0，a^x-1＜0，所以f′（x）＜0，
故函数f（x）在（-∞，0）递减；
（2）若关于x的方程|f（x）-m|=1有四个不同的实数根，
|f（x）-t|-1=0，得a^x=-x²+xlna+t±1结合图象，
指数函数图象与抛物线至多有2个交点，故两个方程各有两个根，
故函数g（x）=a^x+x²-xlna-（t±1）的最小值要小于0，
g′（x）=（a^x-1）lna+2x，g″（x）=a^x（lna）²+2＞0，g′（x）单调增，
当x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，g（x）在[0，+∞）单调增；
当x＜0时，g′（x）＜g′（0）=0，g（x）在（-∞，0]单调减．
故当x=0时，g（x）取到最小值．令g（0）=1-（t±1）＜0，
所以t＞2；
（3）f（1）-f（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
令g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，（a＞1），
则g′（a）=1+$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=$\frac{{（a-1）}^{2}}{{a}^{2}}$＞0，
∴g（a）在（1，+∞）递增，
∴g（a）＞g（1）=1-1-2ln1=0，
∴f（1）＞f（-1）．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，考查转化思想，将问题转化为新函数，求出新函数的最值是解题的关键，本题有一定的难度．