Question

12．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=BC=$\sqrt{2}$，AA$′=\sqrt{3}$，上底面A′B′C′D′的中心为O′，当点E在线段CC′上从C移动到C′时，点O′在平面BDE上的射影G的轨迹长度为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}π$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}π}{6}$

Answer 1

分析 以CA，CC′分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，可求C，O，O′坐标，设G坐标为（x，y），由O′G⊥OG，由斜率之积为-1，整理可知点O′在平面BDE上的射影G的轨迹是以F（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圆弧$\widehat{OG}$．求出∠GFO，即可由弧长公式得解．

解答 解：如图所示，以CA，CC′分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，
则有：C（0，0），O（1，0），O′（1，$\sqrt{3}$），设G（x，y），
∴由O′G⊥OG，可得：$\frac{y}{x-1}•\frac{y-\sqrt{3}}{x-1}$=-1，
整理可得：（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（x-1）²=$\frac{3}{4}$，
∴点O′在平面BDE上的射影G的轨迹是以F（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圆弧$\widehat{OG}$．
∵tan∠GOF=$\frac{O′C′}{OO′}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴O′G=O′O•sin∠GOF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴O′OF是等边三角形，即∠GFO=$\frac{2π}{3}$，
∴圆弧$\widehat{OG}$的长l=$\frac{2π}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了弧长公式，斜率公式的应用，考查了空间想象能力和转化思想，属于难题．