Question

7．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足$a=\sqrt{3}，b=1$，且（a+b）（sinA-sinB）=（c+b）sinC，若三棱锥O-ABC的体积为$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$，则球O的表面积为64π．

Answer 1

分析 求出三角形的面积，利用体积求出O到平面ABC的距离，求出△ABC外接圆的半径，可得球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：∵（a+b）（sinA-sinB）=（c+b）sinC，
∴（a+b）（a-b）=（c+b）c，
∵$a=\sqrt{3}，b=1$，
∴c=1，
∴cosC=$\frac{1+1-3}{2×1×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
设O到平面ABC的距离为h，△ABC外接圆的半径为r，则
∵三棱锥O-ABC的体积为$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×h$=$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$，
∴h=$\sqrt{15}$，
又2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，
∴r=1，
∴球的半径为$\sqrt{15+1}$=4，
∴球O的表面积为4π×4²=64π．
故答案为：64π．

点评 本题考查球O的表面积，考查三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．