Question

17．函数f（x）=log_ax+a（x+1）²-8在区间（0，1）内无零点，则实数a的范围是（1，2]．

Answer 1

分析 分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，从而由函数零点判定定理及函数的单调性判断实数a的范围．

解答 解：若0＜a＜1时，
f（x）=log_ax+a（x+1）²-8在定义域内连续，
且$\underset{lim}{x→0}$f（x）→+∞，f（1）=0+4（a-2）＜0，
故函数f（x）=log_ax+a（x+1）²-8在区间（0，1）内有零点；
若a＞1时，
函数f（x）=log_ax+a（x+1）²-8在区间（0，1）上是增函数，
且$\underset{lim}{x→0}$f（x）→-∞，
故只需使f（1）≤0，
即4（a-2）≤0，
故a≤2，
故实数a的范围是（1，2]；
故答案为：（1，2]．

点评 本题考查了函数单调性的判断与应用及函数零点判定定理的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于基础题．