Question

16．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x²+y²-4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x与圆x²+y²-4y+3=0相切?圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．

解答 解：取双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0．
由圆x²+y²-4y+3=0化为x²+（y-2）²=1．圆心（0，2），半径r=1．
∵渐近线与圆x²+y²-4y+3=0相切，∴$\frac{|2a|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=1化为3a²=b²．
∴该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+3}$=2．
故选：B．

点评 熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键．