Question

6．在如图的五面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：EF∥BC；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）求多面体ADBEG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于AD∥EF，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面ABCD，再利用线面平行的性质定理可得：EF∥BC．
（II）利用线面垂直的性质定理与判定定理可得：AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，可得DH⊥EG．可证明四边形BGHE为正方形，可得EG⊥平面BHD，即可证明．
（Ⅲ）由EF⊥平面AEB，AD∥EF，可得EF⊥平面AEB，又BE⊥BC．利用V_ADBEG=V_D-AEB+V_D-BEG=$\frac{1}{3}{S_{△ABE}}•AD+\frac{1}{3}{S_{△BGE}}•AE$即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD∥EF，AD?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，又EF?平面FEBC，平面FEBC∩平面ABCD=BC
∴EF∥BC．
（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE．
过D作DH∥AE交EF于H，
则DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，
∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，
∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，
∴BH⊥EG，又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，
∴EG⊥平面BHD．
又BD?平面BHD，
∴BD⊥EG．
（Ⅲ）解：∵EF⊥平面AEB，AD∥EF，
∴EF⊥平面AEB，
由（2）知四边形BGHE为正方形，
∴BE⊥BC．
∴V_ADBEG=V_D-AEB+V_D-BEG=$\frac{1}{3}{S_{△ABE}}•AD+\frac{1}{3}{S_{△BGE}}•AE$=$\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．