Question

2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，$\overrightarrow{AB}$=（2，-1，-4），$\overrightarrow{AD}$=（4，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）对于向量$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂，z₂），$\overrightarrow{c}$=（x₃，y₃，z₃），定义一种运算：
（$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₁y₃z₂-x₂y₁z₃-x₃y₂z₁．
试计算（$\overrightarrow{AB}$×$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AP}$的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（$\overrightarrow{AB}$×$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AP}$的绝对值的几何意义．

Answer 1

分析 （1）根据已知向量的坐标，容易求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}=0，\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AP}=0$，从而得到AP⊥AB，AP⊥AD，从而得出PA⊥底面ABCD；
（2）根据向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$的坐标，求出cos∠BAD，从而求出sin∠BAD，并能求得$|\overrightarrow{AB}|，|\overrightarrow{AD}|$，从而求出底面平行四边形的面积，而该四棱锥的高为AP，带入棱锥的体积公式即可求出四棱锥P-ABCD的体积；
（3）根据定义的运算便可求得|$（\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AD}）•\overrightarrow{AP}$|=48，而上面求出的四棱锥的体积为16，从而该运算的绝对值便为底面四棱锥体积的三倍．

解答 解：（1）如图，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=-2-2+4=0$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AD}=-4+4=0$；
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AD}$；
∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A；
∴PA⊥底面ABCD；
（2）cos∠BAD=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}=\frac{6}{\sqrt{21}•\sqrt{20}}=\frac{3}{\sqrt{105}}$；
∴$sin∠BAD=\sqrt{1-\frac{9}{105}}=\frac{4\sqrt{70}}{35}$，$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{21}，|\overrightarrow{AD}|=2\sqrt{5}$；
∴S_{四边形ABCD}=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|sin∠BAD$=$\sqrt{21}•（2\sqrt{5}）•\frac{4\sqrt{70}}{35}=8\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{6}$；
由（1）知PA⊥底面ABCD；
∴PA是P-ABCD的高；
∴V_{四棱锥P-ABCD}=$\frac{1}{3}{•S}_{四边形ABCD}•|\overrightarrow{AP}|$=$\frac{1}{3}×8\sqrt{6}×\sqrt{6}$=16；
（3）根据题意有：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-1}\\{{z}_{1}=-4}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=2}\\{{z}_{2}=0}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-1}\\{{y}_{3}=2}\\{{z}_{3}=-1}\end{array}\right.$；
∴$|（\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AD}）•\overrightarrow{AP}|=|2×2×（-1）+4×2×（-4）+2×2×0-4×（-1）×（-1）-（-1）×2×（-4）|$=48；
该值等于四棱锥P-ABCD体积的3倍；
∴（$\overrightarrow{AB}$×$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AP}$的绝对值的几何意义是：该值表示底面是以AB，AD为邻边的平行四边形，高是AP的四棱锥P-ABCD体积的三倍．

点评 考查两非零向量垂直的充要条件，用向量证明线面垂直的方法，以及数量积的坐标运算，棱锥的体积公式，能根据新运算（$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$的定义求出$|（\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AD}）•\overrightarrow{AP}|$，并能描述其几何意义．