Question

14．求下列函数的最小正周期及对称中心．
（1）f（x）=$\sqrt{co{s}^{2}x-co{s}^{4}x}$；
（2）f（x）=cos$\frac{π}{2}$x•cos[$\frac{π}{2}$（x-1）]；
（3）f（x）=sinx•cosx-2sin³xcosx；
（4）f（x）=sin⁶x+cos⁶x．

Answer 1

分析 由三角函数恒等变换化简函数解析式，利用三角函数的周期性及其求法可求周期，由三角函数的图象和性质即可求得对称中心．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{co{s}^{2}x-co{s}^{4}x}$=$\sqrt{co{s}^{2}x（1-co{s}^{2}x）}$=$\sqrt{si{n}^{2}xco{s}^{2}x}$=$\frac{1}{2}$|sin2x|．
∴最小正周期T=$\frac{π}{2}$，没有对称中心．
（2）∵f（x）=cos$\frac{π}{2}$x•cos[$\frac{π}{2}$（x-1）]=cos$\frac{π}{2}$x•sin$\frac{π}{2}$x=$\frac{1}{2}$sinπx．
∴最小正周期T=$\frac{2π}{π}$=2，对称中心是（k，0）（k∈Z）．
（3）∵f（x）=sinx•cosx-2sin³xcosx=sinx•cosx（1-2sin²x）=$\frac{1}{2}$sin2xcos2x=$\frac{1}{4}$sin4x．
∴最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，对称中心是（$\frac{kπ}{4}$，0）（k∈Z）．
（4）∵f（x）=sin⁶x+cos⁶x=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）=（$\frac{1-cos2x}{2}$）²-$\frac{1-cos2x}{2}•\frac{1+cos2x}{2}$+（$\frac{1+cos2x}{2}$）²=$\frac{3}{8}$cos4x+$\frac{5}{8}$．
∴最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，令4x=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），解得：x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{8}$（k∈Z），∴f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{8}$，$\frac{5}{8}$）（k∈Z）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．