Question

3．如图所示，某市拟在长为8km道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）（x∈[0，4]）的图象，且图象的最高点为S（3，2$\sqrt{3}$），赛道的后一部分为折线段MNP，且∠MNP=120°
（1）求M、P两点间的直线距离；
（2）求折线段赛道MNP长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意结合图象求得A和T，进一步求出ω，则函数解析式可求，代入M的横坐标求得的坐标，由两点间的距离公式求得MP的值；
（2）在△MNP中，设出∠PMN=θ，由正弦定理把PN、MN用含θ的代数式表示，化简后利用三角函数求得最值．

解答 解：（1）依题意，有A=$2\sqrt{3}$，
又$\frac{T}{4}=3$，T=12，∴ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{12}=\frac{π}{6}$，
∴y=$2\sqrt{3}sin\frac{π}{6}x$，
当x=4时，$y=2\sqrt{3}sin\frac{π}{6}×4=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$．
∴M（4，3），又P（8，0），
∴MP=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$；
（2）在△MNP中，
∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=θ，则0°＜θ＜60°，
由正弦定理得：$\frac{MP}{sin120°}=\frac{NP}{sinθ}=\frac{MN}{sin（60°-θ）}$，
∴$PN=\frac{10\sqrt{3}}{3}sinθ$，$MN=\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（60°-θ）$，
故NP+MN=$\frac{10\sqrt{3}}{3}sinθ+\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（60°-θ）$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（60°+θ）$．
∵0°＜θ＜60°，
∴当θ=30°时，折线段赛道MNP最长．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）的图象的求法，训练了利用正余弦定理求解三角形，是中档题．