Question

10．已知a∈R，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）求f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上是单调递增的，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=（x²-4）（x-a）求导得f′（x）=2x（x-a）+（x²-4）=3x²-2ax-4；
（2）由f′（-1）=0得a=$\frac{1}{2}$，从而代入确定f（x）=（x²-4）（x-$\frac{1}{2}$），f′（x）=3x²-x-4；从而求出极值及端点函数值，从而比较求最值即可；
（3）f′（x）=3x²-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，由二次函数的性质可得f′（-2）≥0，f′（2）≥0，从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-4）（x-a），
∴f′（x）=2x（x-a）+（x²-4）
=3x²-2ax-4；
（2）由f′（-1）=0得a=$\frac{1}{2}$，
此时有f（x）=（x²-4）（x-$\frac{1}{2}$），f′（x）=3x²-x-4；
由f′（x）=0得x=$\frac{4}{3}$或x=-1，
又f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{50}{27}$，f（-1）=$\frac{9}{2}$，f（-2）=0，f（2）=0，
所以f（x）在[-2，2]上的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为-$\frac{50}{27}$．
（3）f′（x）=3x²-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，
由条件得f′（-2）≥0，f′（2）≥0，
∴-2≤a≤2．
所以a的取值范围为[-2，2]．

点评 本题考查了导数的综合应用及在闭区间上求函数的最值，同时考查了二次函数的性质应用，属于中档题．