Question

12．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：AC⊥DF；
（3）求三棱锥B-ADF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点G，连接EG．由四边形ABCD是正方形，可得点G是AC的中点，利用三角形中位线定理可得EG∥PA．再利用线面平行的判定定理即可证明．
（2）由四边形ABCD是正方形，可得AC⊥BD．再利用PD⊥底面ABCD，可得：AC⊥平面PBD．即可证明．
（3）过点F作FH∥PD，交BD于H．可得FH⊥底面ABCD．再利用V_B-ADF=V_F-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•FH$，即可得出．

解答 （1）证明：连接AC交BD于点G，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，∴点G是AC的中点，
又∵E为PC的中点，
因此EG∥PA．
而EG?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PD．
而PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．
又DF?平面PBD，
∴AC⊥DF．
（3）解：过点F作FH∥PD，交BD于H．
∵PD⊥底面ABCD，FH∥PD，
∴FH⊥底面ABCD．
由题意，可得PB=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{2}$，PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由Rt△PFE∽Rt△PCB，得$\frac{PF}{PE}=\frac{PC}{PB}$，PF=$\frac{PE•PC}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由Rt△BFH∽Rt△BPD，得$\frac{BF}{BP}=\frac{FH}{PD}$，FH=$\frac{BF•PD}{BP}$=$\frac{2}{3}$．
∴V_B-ADF=V_F-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•FH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，
∴三棱锥B-ADF的体积为$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理、线面面面平行与垂直的判定性质定理、正方形的性质、三角形相似、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．