Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3x+1，x≤0\\ ax-3，x＞0\end{array}\right.$在区间（-∞，2]上至少有2个零点，那么实数a的取值范围是$（{0\;，\frac{9}{4}}]$．

Answer 1

分析 由f（x）=ax-3最多有1个零点知ax²+3x+1=0一定有解，从而分一次方程与二次方程讨论解的个数，再结合ax-3=0求零点的个数即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3x+1，x≤0\\ ax-3，x＞0\end{array}\right.$在区间（-∞，2]上至少有2个零点，
且f（x）=ax-3最多有1个零点，
故ax²+3x+1=0一定有解，
若a=0，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3x+1，x≤0\\ ax-3，x＞0\end{array}\right.$仅有一个零点-$\frac{1}{3}$，故不成立；
故△=9-4a≥0，
故a≤$\frac{9}{4}$，
又∵x≤0时，f（x）=ax²+3x+1，且f（0）=1＞0，
故a＞0，
故当0＜a＜$\frac{9}{4}$时，f（x）=ax²+3x+1在（-∞，0]上有两个零点，
当a=$\frac{9}{4}$时，f（x）=ax²+3x+1在（-∞，0]上有-个零点，
此时$\frac{9}{4}$x-3=0，解得，x=$\frac{4}{3}$；
综上所述，
实数a的取值范围是$（{0\;，\frac{9}{4}}]$，
故答案为：$（{0\;，\frac{9}{4}}]$．

点评 本题考查了分段函数及函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．