Question

9．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x-2y+3≥0\\ y≥x\end{array}\right.$所表示的平面区域是Ω₁，平面区域Ω₂与Ω₁关于直线3x-4y-9=0对称，对于Ω₁中的任意一点A与Ω₂中的任意一点B，|AB|的最小值等于（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\frac{12}{5}$
• D． $\frac{28}{5}$

Answer 1

分析 由题意作出可行域，数形结合得到的平面区域是Ω₁内到直线3x-4y-9=0距离最小的点，由点到直线的距离公式求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x-2y+3≥0\\ y≥x\end{array}\right.$作出可行域如图，

由图可知，可行域Ω₁内的点A（1，1）到直线3x-4y-9=0的距离最小，
则Ω₂中的点B与Ω₁内的点A的距离的最小值为A到直线3x-4y-9=0的距离的2倍．
|AB|的最小值等于$2×\frac{|3×1-4×1-9|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}=4$．
故选：B．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．