Question

20．已知函数f（x）=x²-8x+6lnx．
（Ⅰ）如果f（x）在区间（m，m+$\frac{1}{2}$）上单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若对任意k∈[-1，1]，函数y=kx-a（这里a＜3），其中0＜x≤6的图象总在函数f（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，通过解导函数的不等式求出函数的单调区间，从而求出m的范围；
（Ⅱ）问题转化为求a＜-x²-6lnx+（8+k）x在x∈（0，6]恒成立，设g（x）=-x²-6lnx+（8+k）x，求出函数g（x）的单调性，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-8x+6lnx，
∴f′（x）=2x-8+$\frac{6}{x}$=$\frac{2（x-3）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞3或0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，
若f（x）在区间（m，m+$\frac{1}{2}$）上单调，
则$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m+\frac{1}{2}≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m+\frac{1}{2}≤3}\end{array}\right.$或m≥3，解得：0≤m≤$\frac{1}{2}$或1≤m≤$\frac{5}{2}$或m≥3；

（Ⅱ）由题意：kx-a＞f（x）在x∈（0，6]恒成立，得kx-a＞6lnx+x²-8x在x∈（0，6]恒成立，
即a＜-x²-6lnx+（8+k）x在x∈（0，6]恒成立，
设g（x）=-x²-6lnx+（8+k）x，
则g′（x）=-2x-$\frac{6}{x}$+（8+k）=$\frac{-[{2x}^{2}-（8+k）x+6]}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：1＜x＜$\frac{k+6}{2}$，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1或$\frac{k+6}{2}$＜x＜6，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，$\frac{k+6}{2}$）递增，在（$\frac{k+6}{2}$，6]递减，
∴g（x）_最小值是g（1）或g（6），
而g（1）-g（6）=6ln6-5（k+1）＞0，
∴只需a＜g（6）=12-6ln6+6k．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，考查转化思想，本题有一定的难度．