Question

14．设数列{a_n}是公比小于1的正项等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=14，且a₁+13，4a₂，a₃+9成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•（n+2-λ），且数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列的公比为q，0＜q＜1，由题意可得a₁和q的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）易得b_n=（n+2-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-4}$，由数列{b_n}是单调递减数列，可得（n+2-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-4}$＞（n+3-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-3}$，解不等式可得．

解答 解：（Ⅰ）设正项等比数列{a_n}的公比为q，
由题意可得0＜q＜1，
∵S₃=14，且a₁+13，4a₂，a₃+9成等差数列，
∴a₁+a₂+a₃=14，8a₂=a₁+13+a₃+9，
联立解得a₂=4，代入a₁+a₂+a₃=14可得$\frac{4}{q}$+4+4q=14，
解得q=$\frac{1}{2}$，或q=2（舍去），∴a₁=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=8×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-4}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_n•（n+2-λ）=（n+2-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-4}$，
∵数列{b_n}是单调递减数列，∴b_n＞b_n+1，
即（n+2-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-4}$＞（n+3-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-3}$，
∴（n+2-λ）•＞$\frac{1}{2}$（n+3-λ），∴λ＜n+1，
∵上式对任意正整数n都成立，
∴实数λ的取值范围为λ＜2

点评 本题考查等比数列的性质，涉及数列的单调性，属中档题．