Question

3．设n为给定的正整数．记A_n={x|2ⁿ＜x＜2ⁿ⁺¹，且x=3m，m∈N}
（1）当n为奇数时．求A_n中的最大数和最小数；
（2）求A_n中所有元素之和．

Answer 1

分析 （1）根据题意，当n为奇数时，有2ⁿ+1=3（2^n-1-2^n-2+…-2+1），问题得以解决．
（2）分n为奇数和偶数两种情况，根据等差数列的前n项和公式即可求出答案．

解答 解：（1）当n为奇数时，有2ⁿ+1=（2+1）（2^n-1-2^n-2+…-2+1）=3（2^n-1-2^n-2+…-2+1），
所以2ⁿ+1是最小的数；
又2ⁿ⁺¹-1=（2ⁿ⁺¹+2）-3=2（2ⁿ+1）-3，
所以2ⁿ⁺¹-1是最大的数．
（2）由（1）知当n为奇数时，A_n中的各个元素组成以2ⁿ+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2ⁿ⁺¹-1=2ⁿ+1+3（m-1），
所以m=$\frac{{2}^{n}+1}{3}$，
所以当n是奇数时，A_n中的所有元素之和为$\frac{1}{2}$[2ⁿ+1）+（2ⁿ⁺¹-1）]$\frac{{2}^{n}+1}{3}$=2^2n-1+2^n-1，
当n为偶数时，n-1时奇数，由（1）可知2^n-1+1是3的倍数，因此2ⁿ+2=2（2^n-1+1）是3的倍数；
同理，2ⁿ⁺¹-2=2（2ⁿ-1）是3的倍数，
所以当n为偶数时，A_n中的各个元素组成以2ⁿ+2为首项，3为公差的等差数列，
设项数为m，则2ⁿ⁺¹-2=2ⁿ+2+3（m-1），所以m=$\frac{{2}^{n}-1}{3}$，
所以当n是偶数时，A_n中的所有元素之和为$\frac{1}{2}$[2ⁿ+2）+（2ⁿ⁺¹-2）]$\frac{{2}^{n}-1}{3}$=2^2n-1-2^n-1．

点评 本体主要考查了等差数列的前n项和公式，以及分类讨论的思想，属于中档题．