Question

15．利用二项式定理证明：49ⁿ+16n-1（n∈N^*）能被16整除．

Answer 1

分析 49ⁿ+16n-1=（48+1）ⁿ+16n-1=${C}_{n}^{0}•4{8}^{n}$+${C}_{n}^{1}•4{8}^{n-1}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•48+${C}_{n}^{n}$+16n-1，即可证明结论．

解答 证明：49ⁿ+16n-1=（48+1）ⁿ+16n-1=${C}_{n}^{0}•4{8}^{n}$+${C}_{n}^{1}•4{8}^{n-1}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•48+${C}_{n}^{n}$+16n-1
=${C}_{n}^{0}•4{8}^{n}$+${C}_{n}^{1}•4{8}^{n-1}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•48+16n
48是可以被16整除的，16n也是可以被整除的，所以${C}_{n}^{0}•4{8}^{n}$+${C}_{n}^{1}•4{8}^{n-1}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•48+16n可以被16整除．
所以49ⁿ+16n-1（n∈N^*）能被16整除．．

点评 本题考查整除性问题，考查二项式定理的运用，利用49ⁿ=（48+1）ⁿ是关键．