Question

8．经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一件送5元优惠券的活动．已知某网民购买A，B，C商品的概率分别为$\frac{2}{3}$，P₁，P₂（P₁＜P₂），至少购买一件的概率为$\frac{23}{24}$，最多购买两件种商品的概率为$\frac{3}{4}$．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．
（1）求该网民分别购买A，B两种商品的概率；
（2）用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意和概率的乘法公式可得P₁和P₂的方程组，解方程组可得；
（2）由题意可得X的可能取值为0，5，10，15，分别可得所对应的概率，可得分布列和期望．

解答 解：（1）由题意可得至少购买一件的概率为$\frac{23}{24}$，
∴一件都不买的概率为1-$\frac{23}{24}$=$\frac{1}{24}$，
∴（1-$\frac{2}{3}$）（1-P₁）（1-P₂）=$\frac{1}{24}$，①
又∵最多购买两件种商品的概率为$\frac{3}{4}$，
∴三件都买的概率为1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2}{3}$P₁P₂=$\frac{1}{4}$，②
联立①②可解得$\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}=\frac{1}{2}}\\{{P}_{2}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}=\frac{3}{4}}\\{{P}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵P₁＜P₂，∴网民分别购买A，B两种商品的概率分别为P₁=$\frac{1}{2}$，P₂=$\frac{3}{4}$；
（2）用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，
由题意可得X的可能取值为0，5，10，15，
由（1）知P（X=0）=$\frac{1}{24}$，P（X=5）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=10）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{11}{24}$，P（X=15）=$\frac{1}{4}$，
∴X的分布列为：

X	0	5	10	15
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

X的数学期望为：EX=0×$\frac{1}{24}$+5×$\frac{1}{4}+10×\frac{11}{24}$+15×$\frac{1}{4}$=$\frac{115}{12}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及其期望的求解，涉及相互独立事件的概率，属中档题．