Question

14．如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD，设∠COB=θ．
（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值；
（2）若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出BC，CD，DA，可得l，利用换元、配方法，即可得出结论；
（2）利用三角形的面积公式、扇形的面积公式，再利用导数，可得当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．

解答 解：（1）由题意，BC=CD=$\sqrt{2-2cosθ}$=2sin$\frac{θ}{2}$，DA=$\sqrt{2+2cos2θ}$=2cosθ，
∴l=2+4sin$\frac{θ}{2}$+2cosθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
令t=sin$\frac{θ}{2}$，则（0＜t＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$），l=-4（t-$\frac{1}{2}$）²+5，
∴t=$\frac{1}{2}$时，即θ=$\frac{π}{3}$，l的最大值为5；
（2）S=$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$sin（π-2θ）+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}×θ$=$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{4}$θ，
∴S′=$\frac{1}{2}cosθ$+cos2θ+$\frac{1}{4}$=0，
∴8cos²θ+2cosθ-3=0，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，且0＜θ＜$\frac{π}{3}$时，函数单调递增，$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$时，函数单调递减，
∴θ=$\frac{π}{3}$时，鲜花种植面积S最大．

点评 本题考查余弦定理，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．