Question

7．设三角形ABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且B=$\frac{π}{3}$．若△ABC不是钝角三角形，求：
（1）角C的范围；
（2）$\frac{2a}{c}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理可得$A=\frac{2π}{3}-C$，由$0＜C≤\frac{π}{2}，0＜A≤\frac{π}{2}$即可求得C的范围．
（2）由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简可得$\frac{2a}{c}$=1+$\frac{\sqrt{3}cosC}{sinC}$，由角C的范围，即可求得$\frac{2a}{c}$的取值范围．

解答 解：（1）因为$A+C=\frac{2π}{3}$，$A=\frac{2π}{3}-C$…（2分）
由$0＜C≤\frac{π}{2}，0＜A≤\frac{π}{2}$得：$\frac{π}{6}≤C≤\frac{π}{2}$…（4分）
（2）$\frac{2a}{c}=\frac{4RsinA}{2RsinC}=\frac{2sinA}{sinC}$…（6分）
=$\frac{2sin（B+C）}{sinC}=\frac{{sinC+\sqrt{3}cosC}}{sinC}=1+\frac{{\sqrt{3}cosC}}{sinC}$（$\frac{π}{6}≤C≤\frac{π}{2}$）…（10分）
当$C=\frac{π}{2}$时，$\frac{2a}{c}=1+\frac{{\sqrt{3}cosC}}{sinC}=1$
当$\frac{π}{6}≤C＜\frac{π}{2}$时，$\frac{2a}{c}=1+\frac{{\sqrt{3}}}{tanC}∈（{1，4}]$…（12分）
所以$\frac{2a}{c}$=$1+\frac{{\sqrt{3}}}{tanC}∈[{1，4}]$．…（14分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．