Question

12．当n为正整数时，用N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，…，设S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ-1）+N（2ⁿ），则数列{S_n-S_n-1}（n≥2）的前n项和的表达式为 R_n=$\frac{{4}^{n}-4}{3}$．

Answer 1

分析 由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身．因此N（x）=x，当x是偶数时，可将S_n进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加，即S_n=S_奇+S_偶，由于S_奇=N（1）+N（3）+…+N（2ⁿ-1）=1+3+…2ⁿ-1=4^n-1，当x是偶数时，且x∈[2^k，2^k+1），通过分类讨论可得：当x∈[2^k，2^k+1）该区间所有偶数的最大奇因数和T_k=4^k-1．可得S_偶=T₁+T₂+…+T_n-1+N（2ⁿ）=$\frac{{4}^{n-1}+2}{3}$，即可得出．

解答 解：由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身．因此N（x）=x，当x是偶数时，可将S_n进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加，即S_n=S_奇+S_偶，
∴S_奇=N（1）+N（3）+…+N（2ⁿ-1）=1+3+…2ⁿ-1=$\frac{1+{2}^{n}-1}{2}×{2}^{n-1}$=4^n-1，
当x是偶数时，且x∈[2^k，2^k+1），
①当k=1时，x∈[2，4）该区间包含的偶数只有2，而N（2）=1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为T₁=1，
②当k=2时，x∈[4，8），该区间包含的偶数为4，6，所以该区间所有的最大奇因数偶数之和为T₂=1+3=4，
③当k=3时，x∈[8，16），该区间包含的偶数为8，10．，12，14，则该区间所有偶数的最大奇因数之和为T₃=1+3+5+7=16，
因此我们可以用数学归纳法得出当x∈[2^k，2^k+1）该区间所有偶数的最大奇因数和T_k=4^k-1．
∴对k从1到n-1求和得T₁+T₂+…+T_n-1=$\frac{{4}^{n-1}-1}{3}$，
∴S_偶=T₁+T₂+…+T_n-1+N（2ⁿ）=$\frac{{4}^{n-1}+2}{3}$
综上可知S_n=S_奇+S_偶=4^n-1+$\frac{{4}^{n-1}+2}{3}$=$\frac{{4}^{n}+2}{3}$．
∴S_n-S_n-1=$\frac{{4}^{n}+2}{3}$-$\frac{{4}^{n-1}+2}{3}$=4^n-1．
∴数列{S_n-S_n-1}（n≥2）的前n项和R_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）
=4^n-1+4^n-2+…+4
=$\frac{4（{4}^{n-1}-1）}{3}$
=$\frac{{4}^{n}-4}{3}$．
故答案为：R_n=$\frac{{4}^{n}-4}{3}$．

点评 本题考查了新定义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．