Question

9．如图，在四棱锥 A-BCDE中，侧面△ADE为等边三角形，底面 BCDE是等腰梯形，且CD∥B E，DE=2，CD=4，∠CD E=60°，M为D E的中点，F为AC的中点，且AC=4．
（1）求证：平面 ADE⊥平面BCD；
（2）求证：FB∥平面ADE；
（3）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质可得AM⊥DE，在△DMC中，利用余弦定理可得MC²=13，利用勾股定理的逆定理可得：AM⊥MC，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理即可证明．
（2）分别取AD，DC的中点G，N，连接FG，GE，FN，NB．利用三角形中位线定理与平行四边形的性质可得：$FG\underset{∥}{=}DN$，可得△BCN是等边三角形，可得四边形EBND是平行四边形，$DN\underset{∥}{=}EB$，$FB\underset{∥}{=}GE$，可得FB∥平面ADE；
（3）过点B作BH⊥NC于点H，可得BH．又EB=ND=2，利用四棱锥A-BCDE的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{四边形EBCD}×AM$，即可得出．

解答 （1）证明：∵△AD E是等边三角形，M是D E的中点，
∴AM⊥DE，${A}{M}=\sqrt{3}$，
∵在△DMC中，DM=1，∠CDM=60°，CD=4，
∴MC²=4²+1²-2×4×1×cos60°=13，
∴${M}C=\sqrt{13}$，
∵在△AMC中，A M²+MC²=3+13=16=AC²，
∴AM⊥MC，
∵MC∩DE=M，MC?平面BCD，DE?平面BCD，
∴AM⊥平面BCD，
∵AM?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCD．
（2）证明：分别取AD，DC的中点G，N，连接FG，GE，FN，NB．
∵AC=DC，F，NF分别为AC，DC的中点，
∴$FN\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，∴$FN\underset{∥}{=}GD$，
∴FN$\underset{∥}{=}$DN，
∴四边形DNFG是平行四边形，
∴$FG\underset{∥}{=}DN$，
∵点N是DC的中点，
∴BC=NC，又∠BCN=60°，
∴△BCN是等边三角形，
∴∠CNB=∠CDE=60°，
∴$BN\underset{∥}{=}DE$，
∴四边形EBND是平行四边形，
∴$DN\underset{∥}{=}EB$，
∴$FB\underset{∥}{=}GE$，
又?平面ADE，GE?平面ADE，
∴FB∥平面ADE；
（3）解：过点B作BH⊥NC于点H，则BH=$\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
由（2）可知：四边形EBND是平行四边形，
∴EB=ND=2，
∴底面等腰梯形BCDE的面积S_{四边形EBCD}=$\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴四棱锥A-BCDE的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{四边形EBCD}×AM$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．

点评 本题考查了等腰梯形与平行四边形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．