Question

14．如图，△ABC中，AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）求BD与平面EBC所成角的大小；
（3）求几何体EFBC的体积．

Answer 1

分析 （1）如图，连接EA交BD于F，利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．
（2）利用已知可得：FG⊥平面EBC，可得∠FBG就是线BD与平面EBC所成的角．经过计算即可得出．
（3）利用V_EFBC=V_FEBC=$\frac{1}{3}$S_△EBC•FG即可得出．

解答 （1）证明：如图，连接EA交BD于F，
∵F是正方形ABED对角线BD的中点，
∴F是EA的中点，
∴FG∥AC．
又FG?平面ABC，AC?平面ABC，
∴FG∥平面ABC．
（2）解：∵平面ABED⊥平面ABC，
BE⊥AB，∴BE⊥平面ABC．
∴BE⊥AC．
又∵AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴BC⊥AC，
又∵BE∩BC=B，
∴AC⊥平面EBC．
由（1）知，FG∥AC，
∴FG⊥平面EBC，
∴∠FBG就是线BD与平面EBC所成的角．
又BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，FG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}a}{4}$，sin∠FBG=$\frac{FG}{BF}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠FBG=30°．
（3）解：V_EFBC=V_FEBC=$\frac{1}{3}$S_△EBC•FG=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•a•$\frac{\sqrt{2}a}{2}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}a}{2}$=$\frac{{a}^{3}}{24}$．

点评 本题考查了正方形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、线面角的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．