Question

6．如图，正四棱锥O-ABCD的棱长均为1，点A、B、C、D在球O的表面上，延长CO交球面于点S，则四面体A-SOB的体积为$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

Answer 1

分析 假设AC与BD相交于点E，则BE⊥平面SAC，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．利用正方体的性质与勾股定理的逆定理可得OA⊥OC，利用四面体A-SOB的体积V=V_B-SAO=$\frac{1}{3}$BE•S_△SAO．即可得出．

解答 解：假设AC与BD相交于点E，则BE⊥平面SAC，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
连接SA，∵SC是直径，∴SA⊥AC，
∵OA²+OC²=AC²=2，
∴OA⊥OC，
∴又S_△SAO=S_△OAC=$\frac{1}{2}O{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
四面体A-SOB的体积V=V_B-SAO=$\frac{1}{3}$BE•S_△SAO=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定性质定理、正方形的性质、正四面体的性质、球的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．