Question

3．用数学归纳法证明：若n为大于1的整数，则$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n．

Answer 1

分析 直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．

解答 解：（1）n=2时，$\frac{1}{3}$＜2，不等式成立；
（2）假设n=k时成立，即$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＜k，
则n=k+1时，有$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}-1}$＜k+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}-1}$＜k+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$=k+1
即n=k+1时，不等式成立．
由（1）（2）可得n为大于1的整数，则$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n．

点评 本题考查数学归纳法证明含自然数n的表达式的证明方法，注意n=k+1的证明时，必须用上假设，考查理解与应用的能力，属于中档题．