Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（a-1）x²+b²x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由导数易得函数单调递增需a-1≤b，列举可得总的基本事件数，易得符合题意的基本事件数，由概率公式可得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（a-1）x²+b²x，
∴f′（x）=x²-2（a-1）x+b²，
要使函数f（x）在R上是增函数，需f′（x）=x²-2（a-1）x+b²≥0，
即△=4（a-1）²-4b²≤0，即a-1≤b，
∵a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，
∴总的基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），
（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共12个，
其中满足a-1≤b的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），
（2，3），（3，2），（3，3），（4，3）共9个，
∴所求概率为P=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$
故选：D．

点评 本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，涉及函数的导数与单调性，属基础题．