Question

6．已知f（x）=lnx-$\frac{x}{4}$+$\frac{3}{4x}$，g（x）=-x²-2ax+4，若对?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{8}$，+∞）
• B． [$\frac{25-8ln2}{16}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{8}$，$\frac{5}{4}$]
• D． （-∞，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 由题意，要使对?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，只需f（x₁）_min≥g（x₂）_min，且x₁∈（0，2]，x₂∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．

解答 解：因为f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{3}{4}•\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{4}$=$\frac{-{x}^{2}+4x-3}{4{x}^{2}}$=$-\frac{（x-1）（x-3）}{4{x}^{2}}$，
易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，1）上递减，在[1，2]上递增，故f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$．
对于二次函数g（x）=）=-x²-2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，
所以要使对?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，只需f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
即$\frac{1}{2}≥g（1）$或$\frac{1}{2}≥g（2）$，所以$\frac{1}{2}≥-1-2a+4$或$\frac{1}{2}≥-4-4a+4$．
解得$a≥-\frac{1}{8}$．
故选A．

点评 本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．