Question

4．在平面直角坐标系xoy中，若圆C与圆x²+y²-4x-8y+12=0关于直线x+2y-5=0对称，则圆C的标准方程为x²+y²=8．

Answer 1

分析 圆C₁化为标准方程，求出圆心坐标与半径，设出圆心C₁关于直线l：x+2y-5=0对称的圆C的圆心C的坐标，利用对称关系，求出圆心C的坐标，即可得到圆C的方程．

解答 解：圆x²+y²-4x-8y+12=0可化为（x-2）²+（y-4）²=8，则圆心C₁（2，4），半径为2$\sqrt{2}$，
设圆心C₁关于直线l：x+2y-5=0对称的圆C的圆心C的坐标为（a，b），则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+a}{2}+2•\frac{4+b}{2}-5=0}\\{\frac{b-4}{a-2}•（-\frac{1}{2}）=-1}\end{array}\right.$，解得a=0，b=0，
∴圆C₁：x²+y²-4x-8y+12=0关于直线l：x+2y-5=0对称的圆C的方程为x²+y²=8．
故答案为：x²+y²=8．

点评 本题考查圆的方程，考查点关于直线对称点的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．