Question

12．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点M（4，n）（n∈N^*）到抛物线C的焦点的距离为5，则${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展开式中的常数项为（　　）

• A． -24
• B． -6
• C． 6
• D． 24

Answer 1

分析 利用抛物线的定义求出p，进而可得n，再写出展开实地通项，即可求出常数项．

解答 解：因为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点M（4，n）（n∈N^*）到抛物线C的焦点的距离为5，
所以4+$\frac{p}{2}$=5，
所以p=2，
所以y²=4x，
M（4，n）（n∈N^*）代入可得n=4，
所以${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展开式的通项为T_r+1=${C}_{4}^{r}（2x）^{4-r}•（-\frac{1}{x}）^{r}$=$（-1）^{r}{C}_{4}^{r}•{2}^{4-r}•{x}^{4-2r}$，
令4-2r=0，可得r=2，
所以${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展开式中的常数项为${C}_{4}^{2}•{2}^{2}$=24．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的定义，考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．