Question

1．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=3，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积，并画出该几何体的左视图（AB平行主视图投影所在的平面）；
（2）求异面直线BC₁与A₁D₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析 （1）直接利用几何体的体积公式求解即可，画出左视图．
（2）说明∠C₁BC就是异面直线BC₁与A₁D₁所成的角．通过三角形求解即可．

解答 （文科）
解：（1）∵AB=BC=2，AA₁=3，
$\begin{array}{c}∴{V}_{ABCD-{A}_{1}{D}_{1}{C}_{1}}={V}_{长方体}-{V}_{三棱锥}\end{array}\right.$
=$2×2×3-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×3=10$．
左视图如右图所示．
（2）依据题意，有A₁D₁∥AD，AD∥BC，即A₁D₁∥BC．
∴∠C₁BC就是异面直线BC₁与A₁D₁所成的角．
又∵C₁C⊥BC，
∴$tan∠{C_1}BC=\frac{{{C_1}C}}{BC}=\frac{3}{2}$．
∴异面直线BC₁与A₁D₁所成的角是$arctan\frac{3}{2}$．

点评 本题考查几何体的体积，异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．