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    10．记无穷数列{an}的前n项a1，a2，…，an的最大项为An，第n项之后的各项an+1，an+2，…的最小项为Bn，令bn=An-Bn．
    （1）若数列{an}的通项公式为an=2n2-7n+6，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）若数列{bn}的通项公式为bn=1-2n，判断{an+1-an}是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；
    （3）若数列{bn}为公差大于零的等差数列，求证：{an+1-an}是否为等差数列．

    分析 （1）数列{an}的通项公式为an=2n2-7n+6，a1=1，${a}_{n}=2（n-\frac{7}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，n≥2时为单调递增数列．可得A1=1，B1=a2=0，b1=1，同理可得b2=A2-B2=a1-a3=-2．可得数列{bn}的通项公式bn=An-Bn=an-an+1=-4n+5．
    （2）设d是非负整数，先证明：bn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；而数列{bn}的通项公式为bn=1-2n，即可{an+1-an}是公差为2等差数列．
    （3）由于数列{an}递增，可得An=an，Bn=an+1，bn=An-Bn=an-an+1=-（an+1-an），即可证明．

    解答 （1）解：数列{an}的通项公式为an=2n2-7n+6，a1=1，${a}_{n}=2（n-\frac{7}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，
    n≥2时为单调递增数列．
    ∴A1=1，B1=a2=0，
    b1=A1-B1=1-0=1，
    同理可得b2=A2-B2=a1-a3=-2．
    ∴数列{bn}的通项公式bn=An-Bn=an-an+1=2n2-7n+6-[2（n+1）2-7（n+1）+6]=-4n+5；
    （2）解：设d是非负整数，先证明：bn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
    充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n-1）d，
    ∴An=an=a1+（n-1）d，Bn=an+1=a1+nd，
    ∴dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．
    必要性：若bn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak-ak-1＜0的项，
    则dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak＞0，这与dn=-d≤0相矛盾，
    故{an}是一个不减的数列．
    ∴dn=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，
    故{an}是公差为d的等差数列．
    而数列{bn}的通项公式为bn=1-2n，
    bn+1-bn=-2，
    ∴{an+1-an}是公差为2等差数列．
    （3）证明：∵数列{an}递增，（可用反证法证明），
    ∴An=an，Bn=an+1，
    ∴bn=An-Bn=an-an+1=-（an+1-an），
    ∵{an+1-an}是等差数列，
    ∴{bn}为等差数列．

    点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式、“新定义”，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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