Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点是$F（{-\sqrt{2}\;，0}）$，上顶点是B，且|BF|=2．过点P（0，-1）的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$c=\sqrt{2}$，a=2．推出b²，即可求解椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，显然不成立，若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程是y=kx+1．与由椭圆联立方程组，设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韦达定理以及$\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，推出x₁=-3x₂，求出k，即可求解直线l的方程．

解答 （本小题13分）
解：（Ⅰ）因为椭圆C的左焦点是${F_1}（{-\sqrt{2}\;，0}）$，且|B₁F₁|=2，
所以$c=\sqrt{2}$，a=2．
所以由a²=b²+c²，得b²=2．
所以椭圆C的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，显然不成立．…（5分）
若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，所以直线l的方程是y=kx-1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$消去y，得 （1+2k²）x²+4kx-2=0．
…（6分）
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
所以${x_1}+{x_2}=\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{-2}{{1+2{k^2}}}$．…（7分）
因为$\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，
所以x₁=-3x₂．…（10分）
所以$-2{x_2}=\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}$，$-3{x_2}^2=\frac{-2}{{1+2{k^2}}}$．
所以$-3•\frac{{4{k^2}}}{{{{（{1+2{k^2}}）}^2}}}=\frac{-2}{{1+2{k^2}}}$．
所以$\frac{12k}{{1+2{k^2}}}=2$．
所以$k=±\frac{1}{2}$．…（12分）
所以直线l的方程是x-2y+2=0，或x+2y-2=0．…（13分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．