Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}（{x+\frac{1}{x}}）$，g（x）=$\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$．
（1）求函数h（x）=f（x）+2g（x）的零点；
（2）设F（x）=f²（x）+mf（x）（其中常数m≥0），求F（x）的最小值；
（3）若直线l：ax+by+c=0（a，b，c为常数）与f（x）的图象交于不同的两点A、B，与g（x）的图象交于不同的两点C、D，求证：|AC|=|BD|．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数的零点，求解方程的解即可．
（2）求出F（x）的表达式，求出函数f（x）的值域，通过$-\frac{m}{2}∈（{-∞，-1}]$，$-\frac{m}{2}∈（{-1，0}]$，分别求解函数的最小值即可．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），联立直线与切线方程，利用韦达定理求解${x_1}+{x_2}=-\frac{2c}{2a+b}$，${x_3}+{x_4}=-\frac{2c}{2a+b}$，判断AB中点与CD中点重合即可．

解答 解：（1）由$h（x）=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}=0⇒x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，函数h（x）的零点为$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…4’
（2）则$F（x）={[{f（x）+\frac{m}{2}}]^2}-\frac{m^2}{4}$…5’
函数f（x）的值域为（-∞，-1]∪[1，+∞）…6’
若$-\frac{m}{2}∈（{-∞，-1}]$，即m∈[2，+∞），$f（x）=-\frac{m}{2}$时，有$F{（x）_{min}}=-\frac{m^2}{4}$…8’
若$-\frac{m}{2}∈（{-1，0}]$，即m∈[0，2），f（x）=-1时，有F（x）_min=1-m
综上所述：$F{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{m^2}{4}}&{m∈[{2，+∞}）}\\{1-m}&{m∈[{0，2}）}\end{array}}\right.$…10’
（3）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by+c=0}\\{y=\frac{1}{2}（{x+\frac{1}{x}}）}\end{array}}\right.⇒（{2a+b}）{x^2}+2cx+b=0$，则${x_1}+{x_2}=-\frac{2c}{2a+b}$…14’
同理由$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by+c=0}\\{y=\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）}\end{array}}\right.⇒（{2a+b}）{x^2}+2cx-b=0$，则${x_3}+{x_4}=-\frac{2c}{2a+b}$
则AB中点与CD中点重合，即|AC|=|BD|…16’

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的最值的求法，证明距离相等的方程，考查分析问题解决问题的能力．