Question

6．如图，正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E，F分别是AD，BC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面C₁CDD₁；
（2）在线段A₁B上是否存在点G，使得EG⊥平面A₁BC₁？若存在，求二面角A₁-C₁G-C的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过E作EH∥CD，连接FH，只要证明平面EFH∥平面C₁CDD₁即可；
（2）假设在线段A₁B上存在点G，使得EG⊥平面A₁BC₁；设正方体的棱长为2，以A原点，AB，AD，AA₁所在直线分别为x，y，z轴，分别求出平面A₁BC₁？的法向量以及$\overrightarrow{EG}$的坐标，利用向量的数量积解答．

解答 证明：（1）过E作EH∥CD，连接FH，
则FH∥CC₁，
所以平面EFH∥平面C₁CDD₁；
所以EF∥平面C₁CDD₁；
（2）假设在线段A₁B上存在点G，使得EG⊥平面A₁BC₁；设正方体的棱长为2，
以A原点，AB，AD，AA₁所在直线分别为x，y，z轴，如图：
则$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（2，2，2），
设平面A₁BC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{2x+2y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-2，1），
G（a，0，c），则$\overrightarrow{EG}$=（a，-1，c），要使EG⊥平面A₁BC₁，只要$\overrightarrow{n}∥\overrightarrow{EG}$，
所以$\frac{1}{a}=\frac{-2}{-1}=\frac{1}{c}$，所以a=c=$\frac{1}{2}$，所以在线段A₁B上存在点G，使得EG⊥平面A₁BC₁；
由以上可知$\overrightarrow{n}$是平面A₁GC₁的一个法向量；
设平面CGC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x'，y'，z'），则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=0$且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CG}=0$，所以$\left\{\begin{array}{l}{2z′=0}\\{\frac{3}{2}x′+3y′-\frac{1}{2}z′=0}\end{array}\right.$，令y'=1，则$\overrightarrow{m}$=（-2，1，0）为平面CGC₁的一个法向量，
所以二面角A₁-C₁G-C的平面角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{6}\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

点评 本题考查证明线面平行的方法，关键是将问题转为线线平行解决，体现了转化的思想．