Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$，若函数y=f[f（x）+a]有四个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-2，2）
• B． [1，5）
• C． [1，2）
• D． [-2，5）

Answer 1

分析 令f[f（x）+a]=0得f（x）+a=-1或f（x）+a=2，从而由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$在两段上分别单调知f（x）+a=-1与f（x）+a=2都有两个解，作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$的图象，由数形结合求解．

解答 解：令f[f（x）+a]=0得，
f（x）+a=-1或f（x）+a=2，
又∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$在两段上分别单调，
∴f（x）+a=-1与f（x）+a=2都有两个解，
即f（x）=-1-a与f（x）=2-a都有两个解，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$的图象如下，

则$\left\{\begin{array}{l}{-3＜-1-a≤1}\\{-3＜2-a≤1}\end{array}\right.$，
解得，1≤a＜2，
故选：C．

点评 本题考查了分段函数的应用及函数零点与方程的根的关系应用，属于基础题．