Question

4．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=$\frac{π}{6}$，斜边AB=4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=$\frac{π}{2}$．
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．
（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析 （1）求出圆锥底面半径，圆锥的侧面积S_侧，然后求解圆锥的全面积．
（2）过D作DM∥AO交BO于M，连CM，说明∠CDM为异面直线AO与CD所成角，在Rt△CDM中，求解异面直线AO与CD所成角的大小．

解答 解：（1）Rt△AOB中，OB=2
即圆锥底面半径为2
圆锥的侧面积S_侧=πrl=8π….4’
故圆锥的全面积S_全=S_侧+S_底=8π+4π=12π….6’
（2）过D作DM∥AO交BO于M，连CM
则∠CDM为异面直线AO与CD所成角….8’
∵AO⊥平面OBC∴DM⊥平面OBC∴DM⊥MC
在Rt△AOB中，$AO=2\sqrt{3}$∴$DM=\sqrt{3}$，
∵D是AB的中点∴M是OB的中点，
∴OM=1∴$CM=\sqrt{5}$．
在Rt△CDM中，$tan∠CDM=\frac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，….10’
∴$∠CDM=arctan\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
即异面直线AO与CD所成角的大小为$arctan\frac{{\sqrt{15}}}{3}$….12’

点评 本题考查异面直线所成角的求法，几何体的全面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．