Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：AC⊥DF；
（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点G，连接EG．通过中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；
（2）由题易得AC⊥PD，通过线面垂直的性质定理可得结论；
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，所求值即为平面DEF的一个法向量与平面ABCD的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 证明：（1）连接AC交BD于点G，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，∴点G是AC的中点，
又∵E为PC的中点，因此EG∥PA．
而EG?平面EDB，所以PA∥平面EDB．
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，∴AC⊥PD．
而PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
又DF?平面PBD，所以AC⊥DF．
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有D（0，0，0），P（0，0，1），
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），所以E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
设F（k，k，l），（kl≠0），则$\overrightarrow{EF}$=（k，k-$\frac{1}{2}$，l-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1）．
由EF⊥PB，得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PB}$=0，即$k+k-\frac{1}{2}-（l-\frac{1}{2}）=0$，
即l=2k，故F（k，k，2k）．
设平面DEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{0+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{kx+ky+2kz=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-z}\\{y=-z}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（-1，-1，1），
又$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1）是底面ABCD的一个法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DP}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DP}|}$=$\frac{0+0+1}{\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二面角，空间中线线垂直、线面平行的判定定理，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．