Question

10．若实数x，y满足4x²+2x+y²+y=0，则2x+y的范围是[-2，0]．

Answer 1

分析 配方并三角换元可得2x+y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-$\frac{1}{2}$，由三角函数的值域求解方法可得．

解答 解：把已知式子配方可得（2x+$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ}\\{y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{4}cosθ-\frac{1}{4}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴2x+y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-$\frac{1}{2}$=sin（θ+$\frac{π}{4}$）-1，
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，∴-2≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）-1≤0，
∴2x+y的范围为：[-2，0]，
故答案为：[-2，0]．

点评 本题考查不等式求式子的取值范围，三角换元是解决问题的关键，属中档题．