Question

18．已知双曲线和离心率为sin$\frac{π}{4}$的椭圆有相同的焦点F₁，F₂，若cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF₁|，|PF₂|，结合cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理，建立方程，即可求出双曲线的离心率e．

解答 解：设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的实半轴长为a₂，焦距为2c，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨设m＞n，双曲线的离心率为e，
由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
又若cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$，∴4c²=m²+n²-mn=a₁²+3a₂²，
∴$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{3{{a}_{2}}^{2}}{{c}^{2}}$=4，即$\frac{1}{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$+$\frac{3}{{e}^{2}}$=4，
解得e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$

点评 本题考查椭圆、双曲线的定义与性质，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．