Question

20．已知方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是$[\sqrt{3}-1，1）$．

Answer 1

分析 通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的最值，得到表达式，然后求解m的范围．

解答 解：m+1=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
x∈[0，π]，x+$\frac{π}{3}∈$[$\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}$]，如图：
方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，2sin（x+$\frac{π}{3}$）∈$[\sqrt{3}，2）$．
∴m+1∈$[\sqrt{3}，2）$，
可得m∈$[\sqrt{3}-1，1）$．
故答案为：$[\sqrt{3}-1\;，\;1）$．

点评 他考查函数的恒成立，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力．