Question

15．已知函数f（x）=$\frac{a}{2}$x²+（a+1）x+2ln（x-1）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x-y+1平行，求出这条切线的方程；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先利用切点处的导数值即为切线的斜率求出a的值，然后求出切点的坐标，则切线方程可求；
（2）对原函数求导，然后转化为一个二次不等式的解法问题求解，注意分裂讨论．

解答 解：（1）由已知得：$f′（x）=ax+\frac{2}{x-1}+a+1，（x＞1）$
因为点（2，f（2））处的切线与直线2x-y+1平行．
所以f′（2）=2a+2+a+1=2，所以a=$-\frac{1}{3}$．
所以f（2）=$-\frac{1}{6}×{2}^{2}+\frac{2}{3}×2=\frac{2}{3}$．
故切线方程为y-$\frac{2}{3}$=2（x-2），即6x-3y-10=0．
（2）已知得：$f′（x）=ax+\frac{2}{x-1}+a+1，（x＞1）$，即$f′（x）=\frac{a{x}^{2}+x+1-a}{x-1}$．
令g（x）=ax²+x+1-a
①当a=0时，g（x）=x+1，显然，x＞1时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＞0恒成立，所以此时函数是定义域内的增函数；
②当a≠0时，$g（x）=a[x-（1-\frac{1}{a}）]（x+1）$，
当a＜0时，$1-\frac{1}{a}＞1$，故当$x∈（1，1-\frac{1}{a}）$时，g（x）＞0，当$x∈（1-\frac{1}{a}，+∞）$时，g（x）＜0．
故原函数在$（1，1-\frac{1}{a}）$上递增，在$（1-\frac{1}{a}，+∞）$上递减．
当a＞0时，$1-\frac{1}{a}＜1$，此时g（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故原函数在（1，+∞）上为增函数．

点评 结合二次函数的图象求解二次不等式是常规的解题思路，在利用导数研究函数的单调性的问题中，常常将问题转化为一元二次不等式问题来解，因此此类问题要引起足够重视．