Question

3．已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且a₂=2，a₁，a₃，a₆成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=4a_na_n+1，$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+1}}$，数列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n项和为S_n，证明，对一切正整数n，有S_n＜$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由b_n=$\frac{4（2n+6）（2n+8）}{25}$，可得$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{25}{16（n+3）（n+4）}$+$\frac{25}{16（n+4）（n+5）}$=$\frac{25}{32}（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5}）$，利用“裂项求和”及其不等式的性质即可证明．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵a₂=2，a₁，a₃，a₆成等比数列，
∴a₁+d=2，${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{6}$，即$（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+5d）$，
解得a₁=$\frac{8}{5}$，d=$\frac{2}{5}$，
∴a_n=$\frac{8}{5}+\frac{2}{5}（n-1）$=$\frac{2n+6}{5}$．
（2）证明：b_n=4a_na_n+1=$\frac{4（2n+6）（2n+8）}{25}$，
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{25}{16（n+3）（n+4）}$+$\frac{25}{16（n+4）（n+5）}$=$\frac{25}{32}（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5}）$，
∴数列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n项和为S_n=$\frac{25}{32}$$[（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+（\frac{1}{6}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}）+（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5}）]$
=$\frac{25}{32}（\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+5}）$＜$\frac{25}{32}×\frac{9}{20}$=$\frac{5×9}{8×16}$$＜\frac{3}{8}$．
∴对一切正整数n，有S_n＜$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．