Question

11．已知$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，$\overrightarrow c=\overrightarrow a+2\overrightarrow b$，若|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{10}$，则$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a+\overrightarrow b$夹角的余弦值的最小值等于$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 先用有向线段表示向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$，设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₁，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₂，从图形上便可看出$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的夹角为θ₁-θ₂，根据图形及已知条件便可求得cos（θ₁-θ₂）=$\frac{2{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}}{\sqrt{10}\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}}$，而$4{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}=10$，从而得到cos（θ₁-θ₂）=$\frac{10-2{\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-3{\overrightarrow{b}}^{2}}}$，可设$y=\frac{10-2{\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-3{\overrightarrow{b}}^{2}}}$，将该式可以整理成关于${\overrightarrow{b}}^{2}$的一元二次方程：$4{\overrightarrow{b}}^{4}+（30{y}^{2}-40）{\overrightarrow{b}}^{2}+100-100y=0$，根据该方程有解△≥0即可求出y即cos（θ₁-θ₂）的最小值．

解答 解：如图，
设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₁，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₂；
∴$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的夹角为θ₁-θ₂；
∴cos（θ₁-θ₂）=cosθ₁cosθ₂+sinθ₁sinθ₂=$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}•\frac{2|\overrightarrow{b}|}{\sqrt{10}}+\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}•\frac{|\overrightarrow{a}|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}}{\sqrt{10}\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}}$；
∵$4{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}=10$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}=10-4{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴cos（θ₁-θ₂）=$\frac{10-2{\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-3{\overrightarrow{b}}^{2}}}$；
设y=$\frac{10-2{\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-3{\overrightarrow{b}}^{2}}}$，将该式变成：
$4{\overrightarrow{b}}^{4}+（30{y}^{2}-40）{\overrightarrow{b}}^{2}+100-100{y}^{2}=0$；
将该式看成关于${\overrightarrow{b}}^{2}$的一元二次方程，该方程有解；
∴△=（30y²-40）²-16（100-100y²）≥0；
解得y$≥\frac{2\sqrt{2}}{3}$，或$y≤-\frac{2\sqrt{2}}{3}$（舍去）；
∴$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$夹角的余弦值的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，三角函数的定义，以及两角差的余弦公式，一元二次方程有解时判别式△≥0．