Question

19．已知抛物线C：y²=4x上一点P，若以P为圆心，|PO|为半径作圆与抛物线的准线l交于不同的两点M、N，设准线l与x轴的交点为A，则$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范围是
（　　）

• A． （0，$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （0，2$\sqrt{2}$）
• D． （2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 设P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），则圆P的方程为（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$）²+（y-y₀）²=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}+{{y}_{0}}^{2}$，设M（-1，y₁），N（-1，y₂），$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{|{y}_{1}+{y}_{2}|}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2|{y}_{0}|}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}+1}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$，利用函数的单调性，即可求出$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范围．

解答 解：设P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），则圆P的方程为（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$）²+（y-y₀）²=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}+{{y}_{0}}^{2}$，
令x=-1，得${y}^{2}-2{y}_{0}y+1+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=0$，
设M（-1，y₁），N（-1，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{△=2{{y}_{0}}^{2}-4＞0}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}+1＞0}\end{array}\right.$，
∴${{y}_{0}}^{2}＞2$，y₁+y₂=2y₀，
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{|{y}_{1}+{y}_{2}|}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2|{y}_{0}|}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}+1}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$，
令t=|y₀|（t＞$\sqrt{2}$），则y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上单调递减，
∴y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$∈（0，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范围是（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查抛物线方程，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，确定$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{|{y}_{1}+{y}_{2}|}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2|{y}_{0}|}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}+1}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$是关键．