Question

11．已知M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$，向量β=$[\begin{array}{l}{1}\\{7}\end{array}]$，求M⁵⁰β．

Answer 1

分析 先根据特征值的定义列出特征多项式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量β，后将求M⁵⁰β的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．

解答 解：矩阵M的特征多项式为f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{-2}&{λ-1}\end{array}|$=（λ-1）²-4=0，
∴λ₁=-1，λ₂=3，
设对应的特征向量为α₁=$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，α₂=$[\begin{array}{l}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$，
由Mα₁=λ₁α₁，Mα₂=λ₂α₂，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+2{y}_{1}=-{x}_{1}}\\{2{x}_{1}+{y}_{1}=-{y}_{1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}+2{y}_{2}=3{x}_{2}}\\{2{x}_{2}+{y}_{2}=3{y}_{2}}\end{array}\right.$，
解得x₁+y₁=0，x₂-y₂=0，
∴矩阵M的一个特征向量为α₁=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
由β=mα₁+nα₂，得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=1}\\{n-m=7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴M⁵⁰β=M⁵⁰（-3α₁+4α₂）
=$-3（{M}^{50}{α}_{1}）+4（{M}^{50}{α}_{2}）$
=$-3（{{λ}_{1}}^{50}{α}_{1}）+4（{{λ}_{2}}^{50}{α}_{2}）$
=$-3×（-1）^{50}[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$+$4×{3}^{50}[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$
=$[\begin{array}{l}{-3+4×{3}^{50}}\\{3+4×{3}^{50}}\end{array}]$．

点评 本题主要考查了特征值与特征向量的计算以及利用特征向量求向量乘方的问题，注意解题方法的积累，属于中档题．