Question

1．已知过抛物线x²=4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C，则△ABC的面积的最小值为4．

Answer 1

分析 求出抛物线x²=4y的焦点坐标，设直线l方程为y=kx+1，与抛物线方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，以及函数的求出切线方程，解出C的坐标，利用弦长公式求出|AB|点C到直线AB的距离，表示出S_△AOCB，利用二次函数的性质即可得出三角形的面积的最小值．

解答 解：∵抛物线x²=4y的焦点F（0，1），
∴设直线l方程为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x}^{2}=4y\end{array}\right.$，消去y得x²-4kx-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
抛物线x²=4y，即二次函数y=$\frac{1}{4}$x²，对函数求导数，得y′=$\frac{1}{2}$x，
所以抛物线在点A处的切线斜率为k₁=$\frac{1}{2}$x₁，
可得切线方程为y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），化简得y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
同理，得到抛物线在点B处切线方程为y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，两方程消去x，
得两切线交点C纵坐标满足y_c=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=1，横坐标为：x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2k．
点C（2k，-1）到直线AB的距离为d=$\frac{|4{k}^{2}+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
线段AB的长度为|x₁-x₂|$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+16}•\sqrt{1+{k}^{2}}$，
S_△ACB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}×\sqrt{16{k}^{2}+16}•\sqrt{1+{k}^{2}}×\frac{|4{k}^{2}+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$4\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{2{k}^{2}+1}$≥4．
当k=0的等号成立，
∴S_△ACB面积的最小值为：4，
故答案为：4．

点评 本题考查了直线与抛物线相交相切问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、函数的导数求解切线方程、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力．