Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F是其右焦点，过F作椭圆的弦AB，设|FA|=m，|FB|=n，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 设直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（α为参数），代入椭圆方程可得：（3+sin²α）t²+6tcosα-9=0，利用根与系数的关系可得|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．利用$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$|\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}|$即可得出．

解答 解：设直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（α为参数），
代入椭圆方程可得：（3+sin²α）t²+6tcosα-9=0，
∴t₁+t₂=$\frac{-6cosα}{3+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$．
∴|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{12}{3+si{n}^{2}α}$．
取m=t₁＞0，n=-t₂＞0，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$|\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}|$=$\frac{4}{3}$．．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线的参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．