Question

18．已知曲线Γ：ρ=$\frac{{\frac{3}{2}}}{{1-\frac{1}{2}cosθ}}$，θ∈R与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，t∈R相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|•|OB|=$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 首先把曲线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步把参数方程转化为直角坐标方程，建立方程组求出交点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出结果．

解答 解：曲线Γ：ρ=$\frac{{\frac{3}{2}}}{{1-\frac{1}{2}cosθ}}$，θ∈R
转化成：$ρ-\frac{1}{2}ρcosθ=\frac{3}{2}$，
转化成直角坐标方程为：$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，
整理得：3x²+4y²-6x-9=0，
曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，t∈R转化为直角坐标方程为：y=$\sqrt{3}x$，
所以：$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}+4{y}^{2}-6x-9=0\\ y=\sqrt{3}x\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\sqrt{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}\\ y=-\frac{3\sqrt{3}}{5}\end{array}\right.$
所以：|OA|=2，$\left|OB\right|=\frac{6}{5}$
则：|OA||OB|=$\frac{12}{5}$．
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，解方程组问题的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的应用能力．