Question

9．已知函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$+1-alnx，a＞0，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性．

解答 解：∵函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$+1-alnx，a＞0，
∴f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$，x＞0，
令t=$\frac{1}{x}$＞0
y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a²-8≤0，即：0＜a≤2$\sqrt{2}$，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②△=a²-8＞0，即：a＞2$\sqrt{2}$，y=0有两个不等根
由2t²-at+1＞0，得t＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$或t＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，又x＞0
∴0＜x＜或x＜0或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$由2t²-at+1＜0，得 $\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$＜t＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$，
∴$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$综上：①0＜a≤2$\sqrt{2}$，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②a＞2$\sqrt{2}$函数f（x）（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$），（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$，+∞）上是增函数，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$）上是减函数．

点评 本题主要考查函数的单调性，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决．