Question

4．已知抛物线y²=2px（p＞0），其焦点到准线的距离与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点到渐近线的距离相等，则该抛物线方程为y²=4x．

Answer 1

分析 双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点（$\sqrt{13}$，0）到渐近线y=$\frac{2}{3}$x的距离为$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{4+9}}$=2，进而可得p，即可求出抛物线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点（$\sqrt{13}$，0）到渐近线y=$\frac{2}{3}$x的距离为$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{4+9}}$=2，
∵抛物线焦点到准线的距离与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点到渐近线的距离相等，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x，
故答案为：y²=4x．

点评 本题考查抛物线方程，考查抛物线的定义，考查双曲线的性质，比较基础．